Если владелец хостинга может установить на своем сервере Java и все необходимое для РУЖЭЛЬ, ничто не мешает вести его там. Не каждый владелец готов устанавливать что-то нестандартное на своем типовом хостинге - большинство из них предложит вам взамен аренду виртуального сервера с заготовленной операционной системой. Если вам удобнее установить сервер с РУЖЭЛЬ в сети Интернет - пожалуйста. Более того, если есть несколько школ, желающих пойти по такому пути, можно в целях экономии использовать для них всех один сервер, хотя журналы у всех будут разные (у каждой школы будут свои независимые базы данных).
С другой стороны, РУЖЭЛЬ - независимый портальный сервис. Будет он на том же сервере, что и ваш школьный сайт, или на другом, никто не заметит. Вы можете продолжать использовать свой сайт, где вам удобно, а РУЖЭЛЬ держать, например, на школьном сервере. Достаточно добавить на сайте ссылку на РУЖЭЛЬ.
Мы убеждены, что самое правильное место для классного журнала (и бумажного, и электронного) - родные школьные стены.